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Probabilités
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Vocabulaire
Définition
Une expérience aléatoire est une expérience que l’on peut reproduire dans les mêmes conditions et dont on peut lister les possibles résultats. Les résultats de l’expérience sont appelés issues.
Exemple
  • Un lancer de dé
  • Lorsque l’on pioche une carte au hasard dans un jeu de cartes
  • Lorsque l’on pioche une boule dans une urne
  • Lorsque l’on tourne une roue
Dans chaque cas on peut lister les issues.
Définition
Un événement est un ensemble d’issues, qui peut être vide ou composé de plusieurs issues
Exemple
Dans le cas du lancer de dé, on peut écrire l’événement "obtenir un nombre pair". Cet événement est composé de trois issues : 2,4,6
Définition
Chaque évènement AA possède un évènement contraire que l’on note A‾\overline{A}
Exemple
Pour l’évènement AA="obtenir un nombre pair", l’évènement A‾\overline{A}="ne pas obtenir un nombre pair"
Définition
Un événement est élémentaire s’il n’est composé que d’une seule issue
Exemple
Toujours dans le cas du lancer de dé, l’événement B="obtenir un six" est un événement élémentaire.
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Equiprobabilité
Définition
Une situation d’équiprobabilité est une situation ou tous les évènements élémentaires ont la même chance de se produire.
Définition
La probabilité d’un événement est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la possibilité de voir se réaliser un événement.
  • 0 est la probabilité d’un événement impossible
  • 1 est la probabilité d’un événement certain
Propriété
Dans une situation d’équiprobabilité, on calcule la probabilité d’un événement AA grâce à la formule :
P(A)=Nombre d’issues qui reˊalise l’eˊveˊnement ANombre total d’issuesP(A) = \frac{\textrm{Nombre d’issues qui réalise l’événement A}}{\textrm{Nombre total d’issues}}
Exemple
Dans un jeu de 32 cartes on pioche une carte au hasard. On note A="Obtenir un roi", quelle est la probabilité de l’événement AA ?
P(A)=432=18P(A) =\frac{4}{32}=\frac{1}{8}
Propriété
La probabilité d’un évènement contraire est donnée par laformule :
P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1-P(A)
Exemple
Dans une boîte, il y a 4 jetons bleus, 5 jetons verts et 1 jeton jaune. On tire, au hasard, un jeton dans la boîte et on note sa couleur. On note B l’événement : « le jeton tiré est bleu ». Quelle est la probabilité de l’événement B
p(B)=410=25(ou0,4)p(B) = \frac{4}{10}= \frac{2}{5} (ou 0,4)
l’événement contraire de BB est B‾\overline{B} = « le jeton tiré n’est pas bleu »
p(B‾)=1−p(B)=1−25=35p(\overline{B}) = 1-p(B) = 1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}
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Modélisation
Il existe plusieurs moyen de représenter une expérience aléatoire. Pour certaines on utilisera un tableau. Pour d'autres on utilisera un schéma appelé arbre de probabilité.
Exemple
On considère une urne contenant 8 boules indiscernables au toucher. Une boule est rouge, trois sont jaunes et quatre sont vertes. On tire une boule au hasard. On peut représenter l’expérience comme suit : {% include "image.html" with image="3eme/ressources/arbreProba.svg" %}
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Expérience à plusieurs étapes
Théorème La loi des grands nombres
Si on répète un nombre suffisant de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un événement est « proche » de la probabilité de cet événement.
Exemple
Mégane a lancé 1000 fois une pièce. Elle a obtenue 512 fois « pile ». La fréquence de l’événement « on obtient pile » est 0,512. Cette fréquence est proche de 0,5 qui est la probabilité de cet événement