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10
Fonctions linéaires
1
Principe
Définition
Une fonction
linéaire
f
f
de coefficient
a
a
est une fonction qui à
x
x
associe le nombre
a
×
x
a \times x
.
On la notera
f
(
x
)
=
a
x
f(x)=ax
Exemple
On note
f
f
la fonction linéaire de coefficient
2
,
5
2,5
.
Calculer l'image de 3 par la fonction
f
f
.
Quel est l'antécédent de 15 par la fonction
f
f
1)
f
(
x
)
=
2
,
5
x
f(x)=2,5x
donc
f
(
3
)
=
2
,
5
×
3
=
7
,
5
f(3)=2,5\times 3=7,5
L'image de 3 par la fonction
f
f
est 7,5.
2) On cherche
x
x
tel que
2
,
5
x
=
15
2,5x=15
, on résout l'équation
x
=
15
2
,
5
x=\frac{15}{2,5}
x
=
6
x=6
6 est l'antécédent de 15 par la fonction
f
f
Exemple
Déterminer la fonction linéaire
g
g
qui est telle que 10 est l'image de -3 par la fonction
g
g
.
g
g
est une fonction linéaire, elle est donc de la forme:
g
(
x
)
=
a
×
x
g(x)=a \times x
(on cherche la valeur de
a
a
)
Puisque
g
(
−
3
)
=
a
×
(
−
3
)
=
10
g(-3)=a\times (-3) = 10
Il faut résoudre l'équation
−
3
a
=
10
-3a =10
d'où
a
=
10
−
3
a=\frac{10}{-3}
On conclut que
g
(
x
)
=
−
10
3
x
g(x)=-\frac{10}{3}x
2
Proportionnalité
Propriété
A toute situation de
proportionnalité
on peut associer une fonction linéaire. La fonction linéaire
modélise
une situation de proportionnalité.
Propriété
Si deux grandeurs sont
proportionnelles
, alors l’une est fonction linéaire de l’autre.
Exemple
Un tissu coûte 11 € le mètre. Le prix est proportionnel à la longueur de tissu acheté.
x
x
mètres de tissu coûtent
11
×
x
11 \times x
€. On peut constater que la fonction
p
p
qui, à la longueur
x
x
de tissu acheté, associe le prix à payer, est une fonction linéaire :
p
(
x
)
=
11
×
x
p(x)=11 \times x
3
Représentation graphique
Définition
Dans un repère, la
représentation graphique
d'une fonction linéaire définie par
f
(
x
)
=
a
x
f(x)=ax
est une
droite
passant par l'origine et par le point de coordonnées
(
1
,
a
)
(1,a)
{% include "image.html" with image="3eme/ressources/Chap10_DroiteLineaire.svg" %}
10
Pourcentages
Propriété
Augmenter
un nombre de
p
%
p\%
, c’est multiplier ce nombre par
1
+
p
100
1+\frac{p}{100}
Exemple
Au
1
e
r
1^{er}
janvier les prix ont augmenté de 2,5%.
Calculer le prix d’un objet qui coûtait 36 €.
36
×
(
1
+
2
,
5
100
)
=
36
×
1
,
025
=
36
,
9
36\times(1+\frac{2,5}{100})=36\times1,025=36,9
Cet objet coûte maintenant 36,90 €.
Propriété
Diminuer un nombre de
p
%
p\%
, c’est multiplier ce nombre par
1
−
p
100
1-\frac{p}{100}
Exemple
Pendant les soldes le prix d'un article qui coûtait 70 € a baissé de 20%.
Calculer le prix de cet article après réduction.
70
×
(
1
−
25
100
)
=
70
×
0
,
75
=
52
,
5
70\times(1-\frac{25}{100})=70\times0,75=52,5
L'article coûte 52,5 € après réduction.