7
Equations
1
Equations du premier degré
Propriété
Une équation du type ax+b=cx+dax+b=cx+d ou a≠ca \neq c admet une unique solution.
Exemple
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2
Modéliser
Exemple
Mariana propose le programme suivant:
  • Choisir un nombre
  • Ajouter 4
  • Multiplier par 3
  • Soustraire 2
Quel nombre permet de trouver le résultat 31 ?
Pour cela on choisit le nombre xx, puis on execute le programme de calcul.
x+4 x +4
(x+4)×3(x+4)\times 3
(x+4)×3−2(x+4)\times 3 -2
Résoudre la question revient à résoudre l'équation:
(x+4)×3−2=31 (x+4)\times 3 -2 = 31
(x+4)×3=31+2 (x+4)\times 3 = 31 +2
(x+4)×3=33 (x+4)\times 3 = 33
(x+4)=33÷3 (x+4) = 33 \div 3
x+4=11 x+4 = 11
x=11−4 x = 11 -4
x=7 x=7
3
Equations du second degré
Propriété
Une équation du type x2=ax^2=a ou aa est un nombre strictement positif admet deux solutions: a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a}.
Exemple
Résolvons x2=81x^2=81:
Les deux solutions sont x=81x=\sqrt{81} ou x=−81x=-\sqrt{81}
Les deux solutions sont donc {9,−9} \left\{ 9,-9 \right\}
Remarque
Attention, x2=0x^2=0 n'a qu'une solution x=0x=0
D'autre part, x2=ax^2=a avec aa un nombre négatif n'admet aucune solution réelle.
4
Equations du produit nul
Propriété
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.
Exemple
Résolvons (x+5)(x−4)=0(x+5)(x-4)=0
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul donc:
x+5=0x+5=0 ou x−4=0x-4=0
C'est à dire x=−5x=-5 ou x=4x=4
Remarque
Il faut factoriser une expression pour se ramener à une équation produit nul.
Exemple
(3+x)2−25=0(3+x)^2-25=0
(3+x)2−52=0(3+x)^2-5^2=0
(3+x−5)(3+x+5)=0(3+x-5)(3+x+5)=0
(x−2)(x+8)=0(x-2)(x+8)=0
5
Calcul d'antécédent d'une fonction
Propriété
Trouver un xx tel que f(x)=af(x)=a revient à résoudre une équation.
Exemple
On donne la fonction définie par f(x)=3x+5f(x)=3x+5, on cherche un antécédent de 80.
Il faut résoudre l'équation:
3x+5=803x+5=80
3x=80−53x=80-5
3x=753x=75
x=75÷3x=75 \div 3
x=25x=25